解题思路：（1）由Sn=n-an（n∈N*），再写一式，两式相减得2an+1-an=1，由此能证明数列{an-1}是等比数列．
（2）求出bn=[n−2
2
n
，由bn+1-bn=
3−n
2
n+1
，得到对任意n∈N*，有bn≤
1/8]，从而得到[1/8]≤t2-[1/4]t，由此能求出t的取值范围．
（Ⅰ）证明：∵Sn=n-an，①
∴Sn+1=n+1-an+1，②
②-①，得2an+1-an=1，
∴an+1-1=[1/2]（an-1），
又∵a1=[1/2]，
∴数列{an-1}是以-[1/2]为首项，以[1/2]为公比的等比数列．
（Ⅱ）∵数列{an-1}是以-[1/2]为首项，以[1/2]为公比的等比数列，
∴an-1=-[1
2n，∴an=1-
1
2n，
∵bn=（2-n）（an-1），∴bn=
n−2
2n，
由bn+1-bn=
3−n
2n+1＞0，得n＜3，
由bn+1-bn=
3−n
2n+1＞＜0，得n＞3，
∴b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn＞…，
∴bn有最大值b3=b4=
1/8]，
∴对任意n∈N*，有bn≤[1/8]，
∵对任意的正整数n，都有bn+[1/4]t≤t2，
∴（bn）max≤t2-[1/4]t，
∴[1/8]≤t2-[1/4]t，
解得t≥[1/2]或t≤-[1/4]，
∴t的取值范围是（-∞，-[1/4]]∪[[1/2]，+∞）．
点评：
本题考点： 等比数列的性质；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．
1年前
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