如图,在长方形ABCD中,O为对角线AC的中点,P是AB上任意一点,Q是OC上 任意一点,已知:AC=2,BC=1.

1个回答

  • (1)作点B关于AC的对称点B′,作点O关于AB的对称点O′,

    连接AB′,QB′,AO′,PO′,B′O′,则QB=QB′,OP=O′P,

    折线OPQB的长=OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′,

    ∴折线OPQB的长的最小值=B′O′.(5分)

    ∵在长方形ABCD中,∠ABC=90°,

    在△ABC中,AC=2,BC=1,∠ABC=90°,

    ∴∠BAC=30°,

    ∵点B、B′关于AC对称,点O、O′关于AB对称,

    ∴∠B′AC=30°,AB′=AB=

    3 ,∠O′AB=30°,AO′=AO=1,

    ∴∠B′AO′=90°,

    ∴B′O′=

    (

    3 ) 2 + 1 2 =2 ,

    ∴折线OPQB的长的最小值=2;(5分)

    (2)设B′O′交AC于点Q′,

    ∵在Rt△AO′B′中,AO′=1,B′O′=2,

    ∴∠AB′O′=30°,则∠AO′B′=60°,

    ∵在△AO′Q′中,∠Q′AO′=∠Q′AB+∠BAO′=60°,

    ∴△AO′Q′是等边三角形,

    ∴AQ′=AO′=1=AO,

    ∴点Q′就是AC的中点O.

    ∴当折线OPQB的长最小时,点Q在AC的中点.(5分)

    1年前

    7