Question

已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满足a2+（y1+y2）a+y

Answer 1

解题思路：（1）由a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，知（y₁+a）（y₂+a）=0，由此能够证明存在i∈{1，2}，使得y_i=-a．

（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得y_i=-a，则有-a=ax²+bx+c，由此能够证明抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点．

（3）方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁、x₂，x₁+x₂=-[b/a]，x₁x₂=[c/a]，由此能够证明x₁＜m_i＜x₂．

证明：（1）由a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，

有（y₁+a）（y₂+a）=0．（2分）

∴y₁=-a或y₂=-a，

即存在i∈{1，2}，使得y_i=-a．（4分）

（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得y_i=-a，

则有-a=ax²+bx+c，

即ax²+bx+a+c=0，

由△=b²-4a（a+c）≥0．

∴b²-4ac≥4a²＞0．∴b²-4ac＞0．

∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）

（3）方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁、x₂，x₁+x₂=-[b/a]，x₁x₂=[c/a]．（10分）

∴（m_i-x₁）（m_i-x₂）

=m_i²-（x₁+x₂）m_i+x₁x₂
=m_i²+[b/a]m_i+[c/a]

=[1/a]（am_i²+bm_i+c）

=[1/a]y_i，

由（1）可知[1/a]y_i=-1＜0，

∴x₁＜m_i＜x₂．（14分）．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较大．解题时要认真审题，仔细解答．