Question

已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙Ο1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙Ο1于

Answer 1

解题思路：（1）根据直线解析式解出D，M坐标，再根据相交弦定理解出圆的直径长，连接EO₁，利用直角三角形解出E点坐标．

（2）连接EC，过E作EG⊥AC于G，首先证∠ECF=∠ECG（可连接MA，利用圆内接四边形的性质来求），然后通过证△ECF、△ECG全等来解．

（1）如图1，∵直线DM的解析式为y=3x+3，

∴D（-1，0），M（0，3），

∵△DMO∽△DCM，

∴OD•CD=DM•DM，DM=

1+9＝

10，

∴CD=10，半径为[1/2]CD=5．

连接EO₁，易知∠EO₁C=2∠EMC=90°．

点E的坐标（4，5）．

（2）如图2，连接EC，过E作EG⊥AC于G，连接MA；

又∵∠EO₁C=90°，AB∥CD，

∴优弧ECB=优弧EDN，

∴∠ECG=∠EAB=∠ECF．

又∵EC=EC，∠EGC=∠EFC

∴△ECF≌△ECG，得出CF=CG，EG=EF；

又∵∠ENC=∠EBC，

∴△ENG≌△EBF，

∴BF=NG，

∴BF+CF=NG+CG=AC．

点评：

本题考点： 三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 考查了三角形的外接圆，全等三角形的证明以及相交弦定理的应用．