Question

设S n 为数列{a n }的前n项和,已知a 1 ≠0,2a n -a 1 =S 1 ·S n ,n∈N * .

Answer 1

(1) a ₁=1 a ₂=2 a _n=2 ^n-1(2) B _n=1+(n-1)·2 ⁿ

解:(1)令n=1,得2a ₁-a ₁=

,即a ₁=

.

因为a ₁≠0,所以a ₁=1.

令n=2,得2a ₂-1=S ₂=1+a ₂,解得a ₂=2.

当n≥2时,由2a _n-1=S _n,2a _n-1-1=S _n-1两式相减,

得2a _n-2a _n-1=a _n,即a _n=2a _n-1.

于是数列{a _n}是首项为1,公比为2的等比数列.

因此,a _n=2 ^n-1.所以数列{a _n}的通项公式为a _n=2 ^n-1.

(2)由(1)知,na _n=n·2 ^n-1.

记数列{n·2 ^n-1}的前n项和为B _n,

于是B _n=1+2×2+3×2 ²+…+n×2 ^n-1,①

2B _n=1×2+2×2 ²+3×2 ³+…+n×2 ⁿ.②

①-②,得-B _n=1+2+2 ²+…+2 ^n-1-n·2 ⁿ=2 ⁿ-1-n·2 ⁿ.

从而B _n=1+(n-1)·2 ⁿ.