Question

求微分方程y"+y'-6y=(x+1)e^x的通解

Answer 1

y''+y'-6y=0

特征方程

r^2+r-6=0

r1=2,r2=-3

y=Ce^2x+C1e^(-3x)

设特解y=C(x)e^x

y'=C'e^x+Ce^x

y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x

C''+(2C'+C')+(C+C-6C)=(x+1)

C''+3C'-4C=x+1

C''+3C'-4(C+x/4+7/16)+3/4=0

C'=(C+x/4+7/16)' -1/4

C''=(C+x/4+7/16)''

(C+x/4+7/16)''+3(C+x/4+7/16)'-4(C+x/4+7/16)=0

特征方程

r^2+3r-4=0

r1=1,r2=-4

C(x)+x/4+7/16=C0e^x+C01e^(-4x)

C(x)=C0e^x+C01e^(-4x)-x/4-7/16

特解y=C(x)e^x=C0e^2x+C01e^(-3x)-(x/4+7/16)e^x

通解y=Ce^2x+C1e^(-3x)-(x/4+7/16)e^x