设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满

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  • 解题思路:(Ⅰ)利用方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1,进行验证,即可得出结论;

    (Ⅱ)构造f(x)-x,研究函数f(x)-x的单调性,从而得到|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,再利用绝对值不等式即可证得.

    (I)因为f′(x)=[1/2]-[sinx/8],所以f′(x)∈[[3/8],[5/8]],满足条件0<f′(x)<1,

    又因为当x=0时,f([π/4])-[π/4]>0,f(π)-π<0,

    所以方程f(x)-x=0有实数根.

    所以函数f(x)=[x/2]+[cos/8]-[1/8]是集合M中的元素.

    (II)不妨设x1<x2,因为f'(x)>0,

    所以f(x)为增函数,

    所以f(x1)<f(x2),

    又因为f'(x)-1<0,

    所以函数f(x)-x为减函数,

    所以f(x1)-x1>f(x2)-x2

    所以0<f(x2)-f(x1)<x2-x1

    即|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,

    所以|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|=|x2-x0-(x1-x0)|≤|x2-x0|+|x1-x0|<2.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查了导数的运算,以及不等式的证明,是一道函数综合问题,有一定难度.