Question

如图,已知等边三角形ABC中,D为BC边上一点,F为AB边上一点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE,连接EF、

Answer 1

【不能无图,若等边三角形ADE作在远离B一侧,命题就不成立了.】

证明：

1.已知等边三角形ABC,

有AC=CB,∠ACD=∠CBF=∠ABC=∠BAC=60度,

又CD=BF,

∴△ADC≌△CFB,【SAS】

即三角形ADC全等三角形CFB.

2.连接BE.

由上面证明有：

∠CDA=∠BFC,∠CAD=∠BCF,

等边三角形ADE中,

∠ADE=∠AED=∠DAE=60度,AE=DE=AD;

则∠BDE=180度-∠ADE-∠CDA

=120度-∠CDA

=120度-∠BFC,

又三角形CFB中,

∠BCF=180度-∠ABC-∠BFC

=120度-∠BFC,

∴∠BDE=∠BCF;

∠FAE=∠DAE-∠BAD

=∠BAC-∠BAD

=∠CAD

=∠BCF,

∴∠BDE=∠FAE;

又DE=AE,BD=BC-CD=AB-BF=FA,

∴△BDE≌△FAE,【SAS】

∴∠BED=∠FEA,BE=FE,

∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠FEA+∠DEF=∠AED=60度;

则△BEF为等边三角形,EF=CD,

∴∠EFB=60度,

∴∠EFB=∠ABC,

∴EF//CD,

又EF=CD.

得到：四边形EFCD是平行四边形.