a² b² c²成等差数列,那就是说b²=1/2(a²+c²).又余弦定理b²=a²+c²-2accosB,则
a²+c²=b²+2accosB,1/2(a²+c²)=1/2b²+accosB,所以b²=1/2b²+accosB,b²=2accosB.
又由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r,所以a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC,代入,得
sin²B=2sinAsinCcosB,两边同时除以sinBcosB,得
tanB=2sinAsinC/sinB.又sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入,得
tanB=2sinAsinC/（sinAcosC+cosAsinC）,式子右边分子分母同时除以cosAcosC,得
tanB=2tanAtanC/(tanA+tanC),故
tanB(tanA+tanC)/tanAtanC=2,展开括号,即得
tanB/tanA+tanB/tanC=2.
大功告成~哈哈~
嗯顺便提示下楼主此类题的做题方法哈~
一般呢见到平方的~先套余弦定理~做到一半~看两边次数相同,就可以套正弦定理（因为正弦定理中的2r可以消掉~）.再继续做发现又没路了~就把要求的东西往回推~这样就接上咯~楼主加油哈~大过年的也不忘做题~辛苦辛苦~
兔年快乐哈~