（2008•西城区一模）设等差数列{an}的各项均 - 知识问答

（2008•西城区一模）设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5=6．

1个回答

解题思路：（I）要求d，则用“a₅，d”表示a₂•a₁₀＞0，再由各项均为整数从而求得d；
（II）因为
a
3
，
a
5
，
a
n
1
，
a
n
2
，…，
a
n
t
，…
成等比数列且知道首项，故先求出公比，再用通项公式求解；
（III）与（II）思路相同，区别在于过程中用a₃表示．
（Ⅰ）因为等差数列{a_n}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得−
6
5＜d＜2．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）由a₃=2，a₅=6，得d＝
a5−a3
5−3＝2，
从而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故ant＝2nt−4．（5分）
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得此等比数列的公比为
a5
a3＝3，
从而ant＝a3•3t+1＝2•3t+1.
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）由d＝
a5−a3
5−3＝
6−a3
2，得an1＝a3+(n1−3)d＝a3+
(n1−3)(6−a3)
2．
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得an1＝
a25
a3＝
36
a3．
由a3+
(n1−3)(6−a3)
2＝
36
a3，化简整理得
点评：
本题考点：等差数列的性质；等比数列的性质．
考点点评：本题主要考查等差、等比数列的概念以及分类讨论的思想．

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