Question

设D={（x，y）|x2+y2≤R2，R＞0}，则二重积∬D(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值（　　）

Answer 1

解题思路：由于只需判断二重积分的符号，因此需要对被积函数和积分区域进行分析，首先把极坐标形式的二重积分化成平面直角坐标系下的形式，然后再看被积函数和积分区域的关系，利用轮换对称性原理，得到答案．

∵=x=rcosθ，y=rsinθ，rdrdθ=dxdy

∴

∬

D(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ=

∫∫

D(eλx−eλy)dxdy

由于积分区域D是关于直线y=x对称的，且被积函数f（x，y）=e^λx-e^λy在有界闭区域D上连续

∴由二重积分的轮换对称性，得

∫∫

D(eλx−eλy)dxdy=

∫∫

D(eλy−eλx)dxdy

即

∫∫

Deλxdxdy=

∫∫

Deλydxdy

∴

∫∫

D(eλx−eλy)dxdy＝0

故选：A．

点评：

本题考点： 二重积分的性质及应用；二重积分的计算．

考点点评： 此题考查了二重在积分极坐标系下与在平面直角坐标系下的转化，以及二重积分的轮换对称性定理：若积分区域D关于直线y=x对称，且被积函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则∫∫Df(x，y)dxdy＝∫∫Df(y，x)dxdy．