已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为(  )

2个回答

  • 解题思路:(法一):根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数求解,

    (法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.

    解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11

    ∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,

    ∴{an}的公差d=3×4=12,

    ∴an=11+12(n-1)=12n-1.

    又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,

    ∴an=12n-1≤302,即n≤25.5.

    又∵n∈N*,

    ∴两个数列有25个相同的项.

    故选A

    解法二:设5,8,11,与3,7,11,分别为{an}与{bn},则an=3n+2,bn=4n-1.

    设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同,

    即3n+2=4m-1,∴n=[4/3] m-1.

    又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r-1.

    根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100 解得[1/2]≤r≤[101/4]

    ∵r∈N*

    从而有25个相同的项

    故选A

    点评:

    本题考点: 等差数列的通项公式.

    考点点评: 解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高.