Question

设n阶矩阵A满足(A-I)(A+I)=O,则A为可逆矩阵

Answer 1

1 证明：若矩阵A^2=I,A不等于I,则A+I不可逆.

证明：首先因为A与A可乘(条件中由A^2),所以A是方阵(不妨设为n阶).

因为A^2=I,所以(A+I)(A-I)=O,

因为A≠I,所以A-I≠O,将矩阵A-I的列向量记为x1,x2,…,xn,则可知方程Ax=O由非零解,由克莱姆法则知系数行列式为零,即

|A+I|=0,因此,A+I不可逆.