解题思路：（1）利用函数在点（1，f（1））处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+[k/x]＜0恒成立，等价于k＜0.5x2-xlnx，构造函数，求最值，即可求实数k的取值范围；
（3）证明[1/xlnx]＞[2
x
2
−1
=
1/x−1]-[1/x+1]，把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得结论．
（1）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=[a/x]+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为0.5，且过点（1，-0.5），…（1分）
∴f（1）=-0.5，f′（1）=0.5
解得a=1，b=-0.5．…（3分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-0.5x．
当x＞1时，f（x）+[k/x]＜0恒成立，等价于k＜0.5x2-xlnx．…（4分）
令g（x）=0.5x2-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx．…（5分）
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=[x−1/x]．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0…（6分）
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分）
∴k≤0.5．…（9分）
（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx-0.5x+[1/2x]＜0，可化为xlnx＜
x2−1
2，…（10分）
又xlnx＞0，
从而，[1/xlnx]＞[2
x2−1=
1/x−1]-[1/x+1]．…（11分）
把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得，
[1/2ln2]+[1/3ln3]+…+[1/nlnn]＞1-[1/3]+[1/2]-[1/4]+…+[1/n−1]-[1/n+1]=1+[1/2]-[1/n]-[1/n+1]=
3n2−n−2
2n2+2n．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度．
1年前
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