解题思路:(1)求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,注意对a进行讨论;
(2)对∀x∈[1,+∞),不等式(2x-4a)lnx>-x恒成立,可得(2x2-4ax)lnx+x2>0,即f(x)>0恒成立,转化为f(x)min>0,借助(1)问结论可求.
(1)f′(x)=[1/x(2x2-4ax)+lnx(4x-4a)+2x
=4x-4a+lnx(4x-4a)=4(x-a)(lnx+1),(x>0).
①若0<a<
1
e],当x∈(0,a),x∈([1/e],+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(a,[1/e])时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是(0,a),([1/e],+∞);单调递减区间是(a,[1/e]).
②若a=[1/e],f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③若a>[1/e],当x∈(0,[1/e]),x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈([1/e],a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是(0,[1/e]),(a,+∞);单调递减区间是([1/e],a).
(2)因为x≥1,所以由(2x-4a)lnx>-x,得
(2x2-4ax)lnx+x2>0,即函数f(x)>0对x≥1恒成立,
由(Ⅰ)可知,当0<a≤[1/e]时,f(x)在,[1,+∞)上单调递增,则f(x)min=f(1)>0,成立,故0<a≤[1/e].
当[1/e]<a≤1,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,符合要求.
当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,则
f(x)min=f(a)>0,即(2a2-4a2)lna+a2>0,1<a<
e.
综上所述,0<a<
e.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查应用导数研究函数单调性、最值问题,导数是研究函数单调性、最值问题的有力工具.