Question

已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先根据（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2以及（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，即可求出h（t），；再求出其导函数，转化为研究h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号即可得到结论；

（Ⅱ）先把问题转化为x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，；利用导函数研究出函数f（x）的单调性，并求出其最大值；再求出g（x）的最大值，两者相比即可得到结论．

（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，

（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，

∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）

∴h'（t）=-3t²+2kt+3

设t₁，t₂是h'（t）=0的两根，则t₁t₂＜0，

∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，

欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，

且h'（t）的值在根的左右两侧异号，

∴h'（2）＞0得k＞

9

4

综上：当k＞

9

4时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，

当k≤

9

4时h（t）在定义域内无极值

（Ⅱ）∵对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，

使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，

又k=4时，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），

h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，

而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0

∴h（t）_max=h（3）=10，

x∈[1，2]时，g(x)max＝

8−4b，b≤

3

2

5−2b，b＞

3

2

∴

b≤

3

2

8−4b≥10或

b＞

3

2

5−2b≥10

∴b≤−

1

2

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．