Question

f(x)=a/2x^2+cosx-1(a>0)在(0,正无穷大)是增函数,求a范围

Answer 1

对原函数求导

一阶导函数为 f ' (x) = ax - sinx

要使原函数在 (0,+∞)上单调递增,

则x＞0时,f ' (x) ＞ 0 ,即 ax ＞ sinx 恒成立

求二阶导数,得

f '' (x) = a - cosx

当 x ＞0时,令f ''(x) ＞0恒成立,则有 a ≥ 1

此时,一阶导函数f ' (x) 单调递增

即有x＞0时,f ' (x) ＞ f ' (0) = a-1 ≥ 0

换言之,当a ≥ 1时,原函数f(x) 在(0,+∞)上单调递增