Question

已知函数f(x)＝13x3+12ax2−bx(a，b∈R)

Answer 1

解题思路：（1）由x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，根据极值点处的导数为零，建立方程组，求解即可．

（2）根据f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数转化成f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．再利用线性规划的方法求出a²+b²的最小值．

（1）∵f(x)＝

1

3x3+

1

2ax2−bx∴f'（x）=x²+ax-b（2分）

又x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点

∴-2，4是方程x²+ax-b=0的两个根

则

−a＝−2+4

−b＝(−2)×4解得

a＝−2

b＝8

∴f(x)＝

1

3x3−x2−8x（4分）

（2）∵f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数∴f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．

∴

f′(−1)≤0

f′(3)≤0⇒

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及根据单调性研究参数的范围，属于中档题．