Question

已知：等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，（d≠1）且a1=b1，a4=b4，a10=b10；

Answer 1

解题思路：（1）分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a₄及b₄，根据a₄=b₄列出等式，用d表示出a₁，同理分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a₁₀及b₁₀，根据a₁₀=b₁₀列出等式，用d表示出a₁，两者相等列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，可求出a₁的值，即可确定出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）由第一问求出等比数列{b_n}的首项与公比，利用等比数列的前n项和公式即可表示出数列{b_n}的前n和为T_n；

（3）b₁₆是{a_n}中的项，为第34项，理由为：先利用{b_n}的通项公式表示出b₁₆，令{a_n}的通项公式等于表示出的b₁₆，可得出n的值，进而得到b₁₆为数列{a_n}中的项，由n的值可得出是第几项．

（1）a₄=a₁+3d，b₄=b₁•d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a₁=[3d

d3−1，

∵a₁₀=a₁+9d，b₁₀=a₁•d⁹，∴a₁+9d=a₁•d⁹，a₁=

9d

d9−1，

∴

3d

d3−1=

9d

d9−1，∴d⁹-1=3d³-3，

∴（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，

∵d≠1，∴d⁶+d³-2=0，∴d³=-2．

∴d=-

32/]，a₁=

−3

32

−3=

32

，

a_n=a₁+（n-1）d=（2-n）

32

，b_n=

32

•（-

32

）^n-1；

（2）∵b₁=a₁=

32

，d=-

32

，

则数列{b_n}的前n和为T_n=

32

[1−(−

32

)2]

1+

32

=

32

（1-

32

）=

32

-

34

；

（3）b₁₆是{a_n}中的项，为第34项，理由为：

假设b₁₆是{a_n}中的项，

∵b₁₆=a₁d¹⁵=

32

•（-

32

）¹⁵=-32

32

，a_n=（2-n）

32

，

∴（2-n）

32

=-32

32

，解得：n=34，

∴b₁₆是{a_n}中的项，为第34项．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 此题考查了等差数列的性质，等差、等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．