Question

已知椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．

Answer 1

解题思路：（1）设所求的椭圆方程为

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞0，b＞0），由已知得|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4=2a，由此能求出椭圆方程．

（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，由此能求出△PF₁F₂的面积．

（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1（a＞0，b＞0）

由已知得|F₁F₂|=2，

∴|PF₁|+|PF₂|=4=2a，

∴a=2，b²=a²-c²=4-1=3

∴此椭圆方程为

x2

4+

y2

3＝1

（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，

由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，

∴4=（m+n）²-2mn-2mncos120°=16-3mn，

∴mn=4，

∴△PF₁F₂的面积S=[1/2]mnsin120°=[1/2]×4×

3

2=

3．

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合．

考点点评： 本题考查数列与解析几何的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．