Question

设二次型f=2x1^2+2x2^2+x3^2+2x1x3+2x2x3,求正交变换X=PY化二次型f为标准型.

Answer 1

A=

2 0 1

0 2 1

1 1 1

|A-λE|=

2-λ 0 1

0 2-λ 1

1 1 1-λ

r1-r2

2-λ λ-2 0

0 2-λ 1

1 1 1-λ

c2+c1

2-λ 0 0

0 2-λ 1

1 2 1-λ

= (2-λ)[(2-λ)(1-λ)-2]

= (2-λ)(λ^2-3λ)

= λ(2-λ)(λ-3).

所以A的特征值为2,3,0.

(A-2E)x=0的基础解系为 a1=(1,-1,0)'

(A-3E)x=0的基础解系为 a2=(1,1,1)'

Ax=0的基础解系为 a3=(1,1,-2)'

将a1,a2,a3单位化构成正交矩阵P (自己做)

则 f = 2y1^2 + 3y2^2.