Question

已知抛物线C：y2=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，则抛物线C的以点M（2，1）为中

Answer 1

解题思路：由抛物线C：y2=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，推导出抛物线C：y2=24x．由此利用点差法能求出抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线方程．

准线x=-[p/2]，

由抛物线定义，M到焦点距离等于到准线距离，

M到准线距离=1-（-[p/2]）=7，p=12．

∴抛物线C：y²=24x．

设抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB义抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，

把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入抛物线C：y²=24x，得

y12＝24x1

y22＝24x2，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=24（x₁+x 2 ）（x₁-x₂），

∴2（y₁-y₂）=96（x 1 -x₂），

∴k=

y1−y2

x1−x2=48，

∴抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线方程为y-1=48（x-2），

整理，得48x-y-95=0．

故答案为：48x-y-95=0．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查直线方程的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．