Question

观察方程x+2/X=3,X+6/x=5.x+12/X=7利用规律求x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4的根

Answer 1

x+2/X=3 写成x+(1^2+1)/x=2*1+1

x+6/X=5写成x+(2^2+2)/x=2*2+1

x+12/X=7写成x+(3^2+3)/x=2*3+1

x+2/X=3化简为(X-1)(X-2)=0的解为1,2

X+6/x=5化简为(X-2)(X-3)=0的解为2,3

x+12/X=7化简为(X-3)(X-4)=0的解为3,4

以上各解与n和n+1对应

而x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4化简为(x-3)+(n^2+n)/(x-3)=2n+1

设X-3=Y

则Y+(n^2+n)/Y=2n+1

即Y+n(n+1)/Y=2n+1

Y1=n,Y2=n+1

所以方程的解为

X1=Y1+3=n+3

X2=Y2+3=n+4