解题思路:(1)因为MN∥BC,所以△AMN∽△ABC,所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值,即可求得面积;
(2)根据轴对称的性质,可求得相等的线段与角,可得点M是AB中点,即当x=[1/2]AB=2时,点P恰好落在边BC上;
(3)分两种情况讨论:①当0<x≤2时,易见y=[3/8]x2.(8分)
②当2<x<4时,如图3,设PM,PN分别交BC于E,F
由(2)知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求得.
(1)S△AMN=
3
8x2(3);
(2)如图2,由轴对称性质知:AM=PM,∠AMN=∠PMN,(4分)
又MN∥BC,∴∠PMN=∠BPM,∠AMN=∠B,(5)
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM(6分)
∴点M是AB中点,即当x=
1
2AB=2时,点P恰好落在边BC上.(7分)
(3)(i)以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,易见y=
3
8x2(8分)
②当2<x<4时,如图3,设PM,PN分别交BC于E,F
由(2)知ME=MB=4-x,
∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC,
∴(
PE
AB)2=
S△PEF
S△ABC,
∴S△PEF=
3
2(x−2)2
∴y=S△PMN−S△PEF=
3
8x2−
3
2(x−2)2=−
9
8x2+6x−6
∴y=
3
8x2(0<x≤ 2)
−
9
8x2+6x−6(2<x<4)
(ii)∵当0<x≤2时,y=
3
8x2
∴易知y最大=
3
8×22=
3
2(11分)
又∵当2<x<4时,y=−
9
8x2+6x-6=−
9
8(x-
8
3)2+2.
∴当x=
8
3时(符合2<x<4),y最大=2,(12分)
综上所述,当x=
8
3时,重叠部分的面积最大,其值为2.(13分)
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题考查了折叠问题,要注意对应的线段对应的角相等,此题还考查了相似三角形的性质,解题的关键是数形结合思想的应用.