(2007•龙岩)如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是边AB上的动点(M不与A,B重合),MN∥

1个回答

  • 解题思路:(1)因为MN∥BC,所以△AMN∽△ABC,所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值,即可求得面积;

    (2)根据轴对称的性质,可求得相等的线段与角,可得点M是AB中点,即当x=[1/2]AB=2时,点P恰好落在边BC上;

    (3)分两种情况讨论:①当0<x≤2时,易见y=[3/8]x2.(8分)

    ②当2<x<4时,如图3,设PM,PN分别交BC于E,F

    由(2)知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4

    由题意知△PEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求得.

    (1)S△AMN=

    3

    8x2(3);

    (2)如图2,由轴对称性质知:AM=PM,∠AMN=∠PMN,(4分)

    又MN∥BC,∴∠PMN=∠BPM,∠AMN=∠B,(5)

    ∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM(6分)

    ∴点M是AB中点,即当x=

    1

    2AB=2时,点P恰好落在边BC上.(7分)

    (3)(i)以下分两种情况讨论:

    ①当0<x≤2时,易见y=

    3

    8x2(8分)

    ②当2<x<4时,如图3,设PM,PN分别交BC于E,F

    由(2)知ME=MB=4-x,

    ∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4

    由题意知△PEF∽△ABC,

    ∴(

    PE

    AB)2=

    S△PEF

    S△ABC,

    ∴S△PEF=

    3

    2(x−2)2

    ∴y=S△PMN−S△PEF=

    3

    8x2−

    3

    2(x−2)2=−

    9

    8x2+6x−6

    ∴y=

    3

    8x2(0<x≤ 2)

    9

    8x2+6x−6(2<x<4)

    (ii)∵当0<x≤2时,y=

    3

    8x2

    ∴易知y最大=

    3

    8×22=

    3

    2(11分)

    又∵当2<x<4时,y=−

    9

    8x2+6x-6=−

    9

    8(x-

    8

    3)2+2.

    ∴当x=

    8

    3时(符合2<x<4),y最大=2,(12分)

    综上所述,当x=

    8

    3时,重叠部分的面积最大,其值为2.(13分)

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 此题考查了折叠问题,要注意对应的线段对应的角相等,此题还考查了相似三角形的性质,解题的关键是数形结合思想的应用.