Question

（2010•南京二模）设数列{an}的前n项积为Tn，Tn=1-an；数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=1-bn

Answer 1

（1）由T_n=1-a_n得：T_n=1−

Tn

Tn−1（n≥2）∴T_n•T_n-1=T_n-1-T_n

∴

Tn−1−Tn

Tn• Tn−1＝

1

Tn−

1

Tn−1=1即c_n-c_n-1=1

又T₁=1-a₁=a₁∴a₁=[1/2，c1＝

1

T1]=2

∴数列c_n是以2为首项，1为公差的等差数列．

∴c_n=c₁+n-1=2+n-1=n+1

∴T_n=[1/n+1，an＝1−Tn＝

n

n+1]

（2）由（1）知：T_n=[1/n+1]，

又∵S_n=1-b_n

所以，当n=1时，b₁=1-b₁，∴b₁=[1/2]．

当n≥2时，S_n=1-b_n，S_n-1=1-b_n-1

∴b_n=b_n-1-b_n，

∴2b_n=b_n-1．

∴{b_n}为以[1/2]为首项，以[1/2]为公比的等比数列．

∴b_n=[1/2×

1

2n−1＝

1

2n]，

∴[1/n+1•(

n

2n+n−2) ≤kn对任意的n∈N*恒成立．

∴k≥

1

n(n+1)(

n

2n+n−2)对任意的n∈N*恒成立．

∴k≥

1

n+1•

1

2n+

n−2

n(n+1)]对任意的n∈N*恒成立．

令f（n）=

1

n+1•

1