对于任意的正整数n,所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么?

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  • 解题思路:把所给的多项式利用因式分解写成乘积的形式:n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2).因为n、n+1、n+2是连续的三个正整数,所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数,可知n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2)一定是6的倍数,所以最大公约数为6.

    n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2),

    ∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数,(2分)

    ∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数,(3分)

    ∴n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2)一定是6的倍数,(4分)

    又∵n3+3n2+2n的最小值是6,(5分)

    (如果不说明6是最小值,则需要说明n、n+1、n+2中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数,第三个不可能有公因数.否则从此步以下不给分)

    ∴最大公约数为6.(6分)

    点评:

    本题考点: 因式分解的应用.

    考点点评: 主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题.要先分解因式并根据其实际意义来求解.