Question

已知曲线f(x)=x^3+X^2+X+3在x=1处的切线恰好是抛物线Y=2px^2相切,则该抛物线焦点垂直于

Answer 1

F(x)=x^3+x^2+x+3,F'(x)=3x^2+2x+1F(-1)=-1+1-1+3=2,F'(-1)=3-2+1=2

F(x)在(-1,2)处 切线为y=2x+4

设抛物线切点为(t,2pt^2),y'=4px,切线斜率为4pt=2,p=1/2t,2pt^2=t

∴切点为(t,t),在直线y=2x+4上

∴t=2t+4,t=-4,p=1/2t=-1/8 ,切点为(-4,-4),抛物线y=-x^2/4,即x^2=-4y 抛物线焦点(0,-1),对称轴y轴,过(0,-1)且垂直于y轴的直线为y=-1

令y=-1,x^2=4,x=2或-2

∴线段长2-(-2)=4