如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,且PA=PB,AC=BC,求证:(1)AB

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  • 解题思路:(1)连接CE,根据等腰三角形三线合一的性质,可得AB⊥PE,AB⊥CE,进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥面PCE,进而再由线面垂直的性质,得到AB⊥PC.(2)由于E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,根据三角形中位线的性质,可得GH∥面PAB,得GF∥面PAB,由面面平行的判定定理,可得面PAB∥面FGH,进而由面面平行的性质,得到PE∥平面FGH.

    证明:(1)连接CE,

    因为PA=PB,E为AB中点,

    所以AB⊥PE,…(2分)

    同理,由AC=BC的AB⊥CE,…(3分)

    又PE∩CE=E,PE,CE⊂面PCE,

    所以AB⊥面PCE,…(5分)

    而PC⊂面PCE,所以AB⊥PC;…(7分)

    (2)因为G,H分别是PC,BC的中点,所以GH∥PB,GH⊄面PAB,PB⊂面PAB,

    所以GH∥面PAB,同理由G,F分别是PC,AC的中点,得GF∥面PAB,…(10分)

    又FG∩GH=G,FG,GH⊂面FGH,所以面PAB∥面FGH,…(12分)

    而PE⊂平面PAB,所以PE∥平面FGH.…(14分)

    (注:本题第二问在证明面面平行时如果用线线平行直接得到要扣3分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定与性质,其中(1)的关键是证得AB⊥面PCE,(2)的关键是证得面PAB∥面FGH.