Question

已知集合M＝{x|2x2+x≤(14)x−2，x∈R}，求函数f（x）=a2-1+ax+x2，x∈M的最小值．

Answer 1

解题思路：由对数函数的性质可求得M=[-4，1]，将f（x）=a²-1+ax+x²配方为f（x）=

(x+

a

2

)

2

+[3/4]a²-1之后，根据其对称轴x=-[a/2]与区间[-4，1]之间的关系，利用二次函数的单调性即可求得相应情况下的最小值．

∵2x2+x≤2^4-2x，

∴x²+x≤4-2x，

∴-4≤x≤1，

即M=[-4，1]---------（2分）

∵f（x）=a²-1+ax+x²=(x+

a

2)2+[3/4]a²-1，

①当-4≤-[a/2]≤1时，y_min=[3/4]a²-1；------------（2分）

②当−

a

2＞1时，y_min=f（1）=a²+a；------------（2分）

③-[a/2]＜-4时，y_min=f（-4）=a²-4a+15．------------（2分）

∴y_min=

a2+a，(a＜−2)

3

4a2−1，(−2≤a≤8)

a2−4a+15，(a＞8)．

点评：

本题考点： 指、对数不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查指、对数不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于中档题．