Question

已知偶函数f（x）在（-∞，0]上满足：当x1，x2∈（-∞，0]且x1≠x2时，总有x1−x2f(x1)−f(x2)＜

Answer 1

解题思路：偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，直接构造函数f（x）=x²，问题转化为解不等式（x-1）²＜x²，解出即可．

依题意：偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，

所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，

直接构造函数f（x）=x²，

问题转化为解不等式（x-1）²＜x²，解之得：x＞

1

2，

所以不等式f（x-1）＜f（x）的解集为{x∈R|x＞

1

2}．

另依题意：偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，

由于f（x-1）＜f（x），即f(|x−1|)＜f(|x|)⇔|x−1|＜|x|⇔x＞

1

2

所以不等式f（x-1）＜f（x）的解集为{x∈R|x＞

1

2}；

故答案为：{x|x＞[1/2]}．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了函数的单调性问题，考查构造新函数问题，是一道中档题．