存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件就是R(A)=R(B)
证明： a1,a2,.an,线性无关,而a1,a2,.an,b,r线性相关,所以有x1a1+x2a2+.xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+.xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,线性相关,同理x=0,可得a1,a2,.an,r线性相关.若x,y都不为零,两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,.an,r.表示.若除以y可证明r可以用a1,a2,.an,b表示.这就说明a1,a2,.an,b与a1,a2,.an,r等价.综合可得命题的证