Question

实变函数题!13证明f(x)为[a,b]上连续函数的充要条件是对任意实数c,集E={X|F(X)>=C}和E={X|F(

Answer 1

必要性：任取E={x|f(x)≥c}中收敛数列{xn}

设xn->x,∵xn∈[a,b],∴x∈[a,b]

∴由f(x)连续,可知f(xn)->f(x)

则f(x)=lim{n->∞}f(xn)≥lim{n->∞}c=c

∴x∈E,即E是闭集,E={x|f(x)≤c}时同理

充分性：考虑任意一点t∈[a,b],则对任意ε>0

A={x∈[a,b]:f(t)-ε