Question

用数学归纳法求证：|sin（nx）|≤ n|sinx|（n∈N*）

Answer 1

|sin（nx）|≤ n|sinx|（n∈N*）

当n=1,|sinx|≤ |sinx|显然成立；

设当n=N（N∈N*,N>=1） 成立,即|sinNx|≤ N|sinx|

对于n=N+1,|sin(N+1)x|=|sin（Nx+x）|≤|sinNxcosx+cosNxsinx|≤|sinNxcosx| +|cosNxsinx|≤|sinNx||cosx|+|cosNx||sinx|≤ |sinNx|+|sinx|≤ N|sinx|+|sinx|=(N+1)|sinx|,即对于n=N+1等式也成立,

由第二数学归纳法知|sin（nx）|≤ n|sinx|（n∈N*）成立.