Question

若1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5具有性质：对于1≤i≤4，a1，a2…ai不构成1，2，…，i的某

Answer 1

解题思路：将5个数的所有的排法利用排列求出；将不具有性质：对于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不构成1，2，…，i的某个排列的排列通过分类讨论的方法求出；利用总的排法减去不具有性质的排法，求出值．

1、总的排列数有A₅⁵种，用排除法

2、考虑对于1≤i≤4，a₁，a₂，…a_i为1，2，…i的某个排列的情况：

①当 i=4 时

即 a₁a₂a₃a₄为1，2，3，4的某个排列，a₅=5，共有A₄⁴种可能

②当 i=3 时

即 a₁a₂a₃为1，2，3的某个排列，此处要考虑重复问题．即a₅必须不为5，否则会和 i=4 时重复．

故a₄=5，a₅=4，a₁a₂a₃任意排列，有 A₃³种可能

③当 i=2 时，a₅不为5，a₃不为3（否则和i=3重复），有

a₃=5时，a₁，a₂为1，2 的任意排列，a₄，a₅为3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4种排列

a₄=5，a₅=3，a₃=4，此时有A₂²=2种

故 i=2时共有6种情况

④当 i=1 时，a₁=1，此时要满足以下条件：

1、a₂不为 2

2、a₂=3 时，a₃不能为2（与i=3重复）

3、a₅必须不为5，否则将和i=4重复

这样排列出来情况如下：

a₂=5，A₃³种

a₃=5，a₂不为2，有4种情况

a₄=5，a₅必须为2或3之间的一个，共2A₂²种

因而i=1时共有 14种情况

到此，结果就出来了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70

故答案为：70

点评：

本题考点： 排列及排列数公式．

考点点评： 本题考查利用排列求完成事件的方法数、考查间接的方法求完成事件的方法数、考查分类讨论的数学思想方法．