Question

一点的导数存在,为什么不能说该点邻域内一阶可导

Answer 1

邻域当然不一定可导,注意可导和连续都是逐点定义的.

在某一点可导只能说明它在这点处连续且左导等于右导,其他什么都不能说明,比如它在这个点邻域内的单调性,导数的左右极限是否存在等都是有影响的

举例

设狄利克雷函数F（x）当x为有理数时,F（x）为1,x为无理数时函数为0.现在构造带有函数f（x）=x²F（x）这个函数在0这一点是可导的,但是在0的任意邻域却不可导.

再举个例子

f（x）=x²|cos兀/x| x≠0时；f（x）=0,x=0时.这个函数也是在0这一点可导邻域却不可导.