Question

（2014•唐山三模）已知函数f（x）=ex，g（x）=[k/2]x2+x+1．

Answer 1

解题思路：（1）设h（x）=f（x）-g（x）+

x

2

2

=e^x-x-1，求导数，确定x∈（0，+∞）时，h（x）单调递增，即可证明结论；

（2）求导数，设G（x）=e^x-kx-1，则G′（x）=e^x-k，分类讨论，确定函数的单调性，即可求k的取值范围．

（1）证明：当k=1时，设h（x）=f（x）-g（x）+

x2

2=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．…（1分）

当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．

所以h（x）≥h（0）=0．

故f（x）≥g（x）-

x2

2．…（4分）

（2）设F（x）=f（x）-g（x）=e^x-[k/2]x²-x-1，则F′（x）=e^x-kx-1．

设G（x）=e^x-kx-1，则G′（x）=e^x-k．…（6分）

①若k≤0时，则G′（x）＞0，G（x）单调递增，

当x∈（-∞，0）时，G（x）＜G（0）=0，即F′（x）＜0，F（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，F（x）单调递增．

故F（x）≥F（0）=0，此时f（x）≥g（x）．…（9分）

②若k＞0，则

当x∈（-∞，-[2/k]）时，e^x-1＜0，-[k/2]x²-x=-[1/2]x（kx+2）＜0，

从而F（x）=e^x-1-[k/2]x²-x＜0，这时f（x）≥g（x）不成立．…（11分）

综上，k的取值范围是（-∞，0]．…（12分）

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．