Question

已知数列{an}的前n项和Sn＝−12n2+kn（其中k∈N+）且Sn的最大值为8．

Answer 1

解题思路：（1）利用前n项和

S

n

＝−

1

2

n

2

+kn

（其中k∈N₊）且S_n的最大值为8，先求出参数k．然后求出数列的通项公式．

（2）利用错位相减法求出数列的前n项和T_n．

（1）将数列进行配方得和Sn＝−

1

2n2+kn=−

1

2(n−k)2+

k2

2，因为对应抛物线开口向下，且S_n的最大值为8，

所以

k2

2＝8，解得k2＝16，k＝4．即Sn＝−

1

2n2+4n．

当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝−

1

2n2+4n−[−

1

2(n−1)2+4(n−1)]=−n+

9

2，

当n=1时，a1＝S1＝−

1

2+4＝

7

2满足a_n，所以an＝−n+

9

2，n∈N•．为等差数列．

（2）数列bn＝

9−2an

2n＝

9−2(−n+

9

2)

2n＝

2n

2n=[n

2n−1．

则Tn＝

1

20+

2/2+…+

n−1

2n−2+

n

2n−1]，

所以2Tn＝

1

21+

2

22

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性．

考点点评： 本题主要考查利用错位相减法求数列的和．考查学生的运算能力，运算量较大．