解题思路：（1）由f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），得c=1，由导数的几何意义得f′（1）=3a+2b=1①，易求切点（1，1），代入函数解析式可得a+b+1=1②，联立可解；
（2）解不等式f′（x）＞0可得增区间，注意写成区间形式；
（1）f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f′（x）=3ax2+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，切点为（1，1），则f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（1，1），得a+b+1=1②，联立①②解得a=1，b=-1，∴f（x）=x3-x2+1；...
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属基础题，正确理解导数的几何意义及单调性与导数的关系是解题关键．