Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且（a+b+c）（b+c-a）=3bc．

Answer 1

解题思路：（1）将（a+b+c）（b+c-a）=3bc展开，利用余弦定理可求得角A的度数；

（2）结合（1）的结论，再利用正弦定理与三角函数间的关系即可求得tanC的值．

（1）∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，

∴（b+c）²-a²=3bc，

∴a²=b²+c²-bc，

由余弦定理得：2cosA=1，

∴cosA=[1/2]，又0＜A＜π，

∴A=[π/3]．

（2）∵2b=3c，

∴由正弦定理得：2sinB=3sinC，又A=[π/3]，

∴B+C=π-A=[2π/3]，

∴B=[2π/3]-C，

∴2sin（[2π/3]-C）=3sinC，即2[

3

2cosC-（-[1/2]）sinC]=3sinC，

∴tanC=

3

2．

点评：

本题考点： 余弦定理．

考点点评： 本题考查余弦定理与正弦定理，考查三角函数间的关系，利用B=[2π/3]-C代入是关键，属于中档题．