Question

设方阵A满足A*A=A 证明A+3E可逆,并求(A+3E)逆矩阵

Answer 1

A*A=A ,

A*A-A=0 ,

A*A-A-12E= -12E

(A+3E)(A-4E)= -12E ,

由于 |(A+3E)*(A-4E)|=|A+3E|*|A-4E|=(-12)^n ≠ 0 （设 A 是 n 阶方阵）,

所以 A+3E 可逆,（A-4E 也可逆）

且 (A+3E)^(-1)= 1/(-12)^n*(A-4E) .