Question

已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,且过点P(2,2),

Answer 1

这个结论对任意抛物线都是成立的,所以下面的证明是就一般的抛物线给出的.

设抛物线方程为 y^2=2px (p>0) ,焦点 F(p/2 ,0) ,准线方程为 L：x= -p/2 .

设过 F 的直线方程与抛物线交于 A、B ,

过 A、B 分别向准线 L 作垂线 ,垂足为 A1、B1 ,

由抛物线定义 ,AF=AA1 ,BF=BB1 ,

所以 AB=AF+BF=AA1+BB1 ,

因此,AB 的中点到直线 L 的距离为 （直角梯形的中位线）(AA1+BB1)/2=AB/2 ,

由此可得,以 AB 为直线的圆恰与 L 相切 .