Question

已知关于x的方程9x+m•3x+6=0（其中m∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）当m=-5时，方程即为9^x-5•3^x+6=0，利用换元法，令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²-5t+6=0，可求t进而可求x

（2）令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²+mt+6=0①，要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根，结合二次方程可求

（1）当m=-5时，方程即为9^x-5•3^x+6=0，

令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²-5t+6=0，

解得t=2或t=3，

由3^x=2得x=log₃2，由3^x=3得x=1，

故原方程的解为1，log₃2．

（2）令3^x=t（t＞0）．

方程可转化为t²+mt+6=0①

要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．

当方程①没有实数根时，需△=m²-24＜0，

解得-2

6＜m＜2

6；

当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，

这时应有

△＝m2−24≥0

−m＜0，解得m≥2

6．

综上，实数m的取值范围为m＞-2

6．

点评：

本题考点： 指数型复合函数的性质及应用；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查了利用换元法求解二次方程的根，解题的难点在于（2）中二次方程的根有限制条件时，要注意结合二次函数的性质．