Question

请问以下这条n阶行列式怎么解?Dn=| x y y y ...y|| z x y y.y|| z z x y .y||

Answer 1

z+(x-z) y y ...y

z x y ...y

z z x ...y

......

z z z ...x

= D1 + D2.

D1 =

x-z y y ...y

0 x y ...y

0 z x ...y

0 ......

0 z z ...x

= (x-z) Dn-1

D2 =

z y y ...y y

z x y ...y y

z z x ...y y

......

z z z ...x y

z z z ...z x

第 1列提出z,然后第1列乘(-y)加到其余各列,得

D2 = z(x-y)^(n-1)

所以有

D = D1 + D2 = (x-z) Dn-1 +z(x-y)^(n-1)

因为行列式的值等于其转置行列式,所以有

D = (x-y)Dn-1 +y(x-z)^(n-1)

两式消去 Dn-1 得

D = [y(x-z)^n - z(x-y)^n]/(y-z).