Question

已知n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,证明1).A的行列式不等于5 2).当A的行列式=72时,求n.

Answer 1

1）n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,设x是A的任意特征值,a是属于x的特征向量,则

Aa=xa

由A^2=A+6I得,A^2-A-6I=0

所以 （A^2-A-6I）a=0,

A^2a-Aa-6a=0,

x^a-xa-6a=0

因为a≠0

所以 x^2-x-6=0

x=3,或x=-2

可见A的特征值只能是3或-2.而A的行列式等于其所有特征值的乘积,故A的行列式不等于5.

2）应该是当A的行列式=-72时,因为-72=3×3×(-2)×(-2)×(-2),为五个特征值的乘积,所以

n=5.