解题思路：（1）利用三角形中位线定理和相似三角形的判定即可解决问题．
（2）①根据勾股定理将MN2表示为t的二次函数，然后利用二次函数的最值性就可求出MN2的最小值，进而求出MN的最小值
；②由于Rt△PQW中的直角不确定，可分∠PQW=90°，∠QWP=90°，∠WPQ=90°三种情况进行讨论，由于△FMN∽△QWP，因此可将∠PQW=90°转化为∠NFM=90°，∠QWP=90°转化为∠FMN=90°，∠WPQ=90°转化为∠MNF=90°进行讨论，然后利用相似三角形的判定与性质即可解决问题．
（1）证明：如图1，
∵点P、点Q、点W分别是FM、MN、NF的中点，
∴PQ=[1/2]FN，QW=[1/2]FM，PW=[1/2]MN．
∴[FN/PQ]=[FM/QW]=[MN/PW]=2．
∴△FMN∽△QWP．
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=∠90°，AD=BC=4cm，DC=AB=6cm．
由题可得：DM=BN=1×t=t（cm）．
则有AM=
.
4−t.，AN=6-t．
∴MN2=AM2+AN2
=（4-t）2+（6-t）2
=2t2-20t+52
=2（t-5）2+2．
∵2＞0，
∴当t=5时，MN2最小，最小值为2．
∴当t=5时，MN取到最小值，最小值为
2．
②∵△FMN∽△QWP，
∴∠PQW=∠NFM，∠QWP=∠FMN，∠WPQ=∠MNF．
Ⅰ．当∠PQW=90°时，∠NFM=90°．
过点N作NE⊥DC，垂足为E，如图2，
∵∠MDF=∠MFN=∠FEN=90°，
∴∠DFM=90°-∠EFN=∠ENF．
∴△MDF∽△FEN．
∴[DM/EF]=[DF/EN]．
∵DM=t，DF=2，EF=CF-CE=6-2-t=4-t，EN=BC=4，
∴[t/4−t]=[2/4]．
解得：t=[4/3]．
经检验t=[4/3]是方程的解，且符合题意．
Ⅱ．当∠PWQ=90°时，∠NMF=90°．
同理可得：△MDF∽△NAM．
则有[DF/AM]=[DM/AN]．
∵DF=2，DM=t，AM=4-t，AN=6-t，
∴[2/4−t]=[t/6−t]．
整理得：t2-6t+12=0．
∵（-6）2-4×1×12=-12＜0，
∴方程无实数根．
Ⅲ．当∠WPQ=90°时，∠MNF=90°．
（a）当0＜t＜4时，如图2，有∠MNF＜∠ANE=90°；
（b）当t=4时，AN=DF=2
点评：
本题考点： 相似形综合题；二次函数的最值；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理、解分式方程、根的判别式等知识，还考查了分类讨论的思想，综合性较强，有一定的难度．