解题思路：求出CQ=2t，AP=4t，BP=24-4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24-4t，求出即可．
根据题意得：CQ=2t，AP=4t，
则BP=24-4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，
∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，
即2t=24-4t，
解得：t=4，
答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．
点评：
本题考点： 矩形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．