解题思路：利用根与系数的关系得出两根之间的关系，利用因数分解得出所有的可能．
假设方程的两个根分别为a，b，
那么a+b=m，ab=m+2006，
ab=a+b+2006，
ab-a-b+1=2007，
（a-1）（b-1）=2007=1×2007=3×669=9×223=（-9）×（-223）=（-3）×（-669）=（-1）×（-2007），
后面的六个乘式是2007所有的整数分解式由于a-1，b-1都是整数，
因为方程的根a、b为非零整数，所以（a-1）（b-1）=（-1）×（-2007）不成立，
所以a-1，b-1也只能对应上述五种情况，
其中每对应一种分解式，都有一个不同的m=a+b，所以m的个数为5．
故填：5个．
点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式．
考点点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及整数解的求法，题目难度不大．