Question

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到

S

k

2

＝(

S

k

)

2

求得k．

（2）利用n≥2时a_n=s_n-s_n-1求通项公式，但注意n=1时，也符合上式，即可求出通项公式．

（3）设数列{a_n}的公差为d，在

S

n

2

＝(

S

n

)

2

中分别取k=1，2求得a₁，代入到前n项的和中分别求得d，进而对a₁和d进行验证，最后综合求得答案．

（1）当 a1＝

3

2，d＝1时，Sn＝na1+

n(n−1)

2d＝

3

2n+

n(n−1)

2＝

1

2n2+n

∴

1

2k4+k2＝(

1

2k2+k) 2

整理得k3(

1

4k−1)＝0

∴k=0或k=4

又∵k≠0，

∴k=4．

（2）当n=1时，s¹=a₁=1

当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-1

a₁也符合上式

∴a_n=2n-1

（3）设数列{a_n}的公差为d，则在 Sn2＝(Sn)2中分别取k=1，2，由（1）得a₁=0或a₁=1．

当a₁=0时，代入（2）得d=0或d=6，

若a₁=0，d=0，则a_n=0，S_n=0，从而S_k=（S_k）²成立

若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），由S₃=18，（S₃）²=324，S_n=216知s₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意．

当a₁=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2

若a₁=1，d=0，则a_n=1，S_n=n，从而 Sk2＝(Sk)2成立；

若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=1+3+…+（2n-1）=n²，从而S=（S_n）²成立

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

∴a_n=0，a_n=1，a_n=2n-1．

点评：

本题考点： 数列的应用；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生综合分析问题，归纳推理，创造性思维的能力．属中档题．