Question

如图：有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度为10cm，放入一个球后，水面恰好与球相切，求球的半径．（圆锥的体积

Answer 1

解题思路：根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积V′=V_球+V_水，得到关于铁球R的方程，解方程即可．

如图所示，则△ABS为等边三角形，

∵SG=h=10，DG=

3

3×10=

10

3

3，

∴V_水=[π/3]•DG²•SG=[π/9]h³．

设铁球的半径为R，

则SO=2R，SG=3R，

在Rt△FSB中，DG=SGtan∠FSB=

3R，

设放入球之后，球与水共占体积为V′，

则V′=[π/3]•（DG）²•SG=[π/3]（

3R）²•3R=3πR³，V_球=[4π/3]R³．

依题意，有V′=V_球+V_水，

即3πR³=[4/3]πR³+[π/9]h³，

∴R=

3225

15×10=

2

3225

3，

答：铁球的半径为

点评：

本题考点： 切线的性质．

考点点评： 本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、圆锥的体积公式、球的体积的求法，属于中档题目，也重点考查学生的计算能力．