Question

设函数f（x）有一个原函数为（1+sin2x），则∫π20xf′（2x）dx=______．

Answer 1

解题思路：首先，利用换元法，将f′（2x）换成f′（t）；再利用已知的f（x）有一个原函数为（1+sin2x），和定积分的分部积分法求解．

令2x=t，则dt=2dx，

∫

π

20xf′（2x）dx=[1/4

∫π0tf′(t)dt＝

1

4]

∫π0tdf(t)

=[1/4[tf(t)

|π0−

∫π0f(t)dt]

而f（x）有一个原函数为（1+sin²x），因此

f（x）=（1+sin²x）′=2sinxcosx=sin2x

∴

∫

π

20]xf′（2x）dx=

1

4[tsin2x

|π0−(1+sin2t)

|π0]=0．

点评：

本题考点： 定积分的换元积分法；原函数与不定积分的关系．

考点点评： 此题考查定积分的换元积分和分部积分法，以及原函数的概念，是基础知识点．